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11 Demodulation and Detection ​

字数 2,692｜阅读时间 6 分钟｜Ayaskt
2026/11/05 09:47:12 CST

章节目录 ​

11-1 接收机的两个阶段 Two Receiver Stages ​

数字接收机要完成两件事：把波形变成判决统计量，再把这个统计量变成符号。

  • 解调 Demodulation：用滤波器把接收波形压缩成一个变量，同时抑制带外噪声；
  • 检测 Detection：把该变量与门限比较，判定发送的是哪个符号。

接收机链路的完整顺序是：频带下变换、中频滤波、均衡（可选）、采样与判决。均衡器用于补偿信道引起的 ISI，通常与解调、检测集成在一起。

接收信号的误差来源有两类：

  • 热噪声 Thermal Noise：加性的白高斯过程，频谱在各频率上近似平坦；
  • 码间干扰 ISI：发射机、信道与接收机的滤波效应使符号在时间上"拖尾"，相邻符号互相叠加。

11-2 匹配滤波器 Matched Filter ​

11-2-1 最大输出信噪比 Maximum Output SNR ​

假设理想信道，接收信号为发送波形与噪声之和：

是均值为零的 AWGN，双边功率谱密度 。接收滤波器 的输出在 时刻采样，信号分量为

输出噪声功率为

因此采样时刻的信噪比为

用施瓦茨不等式放缩，分子不超过两个平方积分的乘积，等号在 时成立。于是最大输出信噪比只由信号能量 与噪声谱密度决定：

这个结果说明：最大输出信噪比与波形形状无关，只与能量有关。

11-2-2 冲激响应 Impulse Response ​

匹配滤波器 Matched Filter

匹配滤波器 Matched Filter 是对给定发送符号波形 设计、使其输出信噪比最大的线性滤波器，冲激响应为发送波形的镜像并延迟一个符号周期。

由最优传递函数 反变换，得到实时域形式：

其余时刻 。 是任意常数，取 即可。

匹配滤波器的冲激响应是发送波形的镜像沿时间轴反转后再延迟 ，因此输出在 时刻达到峰值，峰值正比于波形能量。

匹配滤波器可以用相关器实现：把接收信号与本地波形相乘再积分，输出与卷积实现相同。两者在 时刻的采样值一致。

11-3 二进制检测 Binary Detection ​

11-3-1 似然比检验 Likelihood Ratio Test ​

检测器拿到采样值 后要在两个假设之间选择： 表示发送 ， 表示发送 。

最小错误概率准则等价于比较后验概率： 与 谁大就判谁。用贝叶斯公式把后验换成先验与条件概率密度，得到似然比检验：

两种符号等概时，门限为 1，判据退化为最大似然：

11-3-2 判决门限与误码率 Threshold and Error Probability ​

假设两种假设下 都是等方差的高斯变量，均值分别为 与 。代入高斯密度并取对数，得到线性门限：

对双极性（反相）信号 ，有 ，门限落在零点。

误码率是错误判决区域下条件概率密度的面积。把高斯密度在门限外积分并换元，得到

其中 是高斯尾概率：

没有闭式解，工程上用查表或近似。 时常用

把信噪比代入误码率：令 为两波形之差的能量，则 ，于是

要降低误码率，就要增大判决时刻两信号分量之差，或减小噪声方差。

11-4 匹配滤波器组与实现 Matched Filter Bank ​

进制系统需要 个匹配滤波器并行工作，每个滤波器匹配一个候选波形。接收信号同时送入所有滤波器，在 采样得到观测向量：

检测器比较各分量，选出最大者对应的符号。对于二进制反相波形，两个匹配滤波器可以合并为一个：一个滤波器加一个门限比较器即可完成判决。

PROBLEM L11-E1

BPSK 系统的 dB。求误码率。

SOLUTION

BPSK 的误码率为

dB 即 ，故

查 函数表得

11-5 接收机性能小结 Summary ​

误码率由三个量共同决定：判决时刻信号差 、噪声方差 、以及两符号的先验概率。匹配滤波器在给定能量下把信噪比做到最大，因此是可实现的最优前端。

多进制系统的最小错误概率判决要求比较 个似然值，判决区域由相邻波形的中点决定；二进制情形只是它的特例。

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